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福建省漳州市_漳州市2015-2016+学年上高中数学教学质量检测

发布时间:2018-11-09 08:00:10    来源:6633散文网    访问:
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  漳州市2015-2016+学年上高中数学教学质量检测(一)

  1.下列函数中哪个与函数y=x相等(  )

  A.y=( )2 B.y= C.y= D.y=

  2.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是(  )

  A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a

  3.化简 =(  )

  A.cosα B.﹣sinα C.﹣cosα D.sinα

  4.在△ABC中, = , = ,若点D满足 =2 ,则 =(  )

  A. + B. ﹣ C. ﹣ D. +

  5.已知区间D⊆[0,2π],函数y=cosx在区间D上是增函数,函数y=sinx在区间D上是减函数,那么区间D可以是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[π, ] D.[ ,2π]

  6.已知单位向量 、 满足 ⊥ ,则函数f(x)=(x + )2 (x∈R)(  )

  A.既不是奇函数也不是偶函数 B.既是奇函数又是偶函数

  C.是偶函数 D.是奇函数

  7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为 的函数,若 ,则 等于(  )

  A. B.1 C.0 D.

  8.方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间(k,k+1)(k∈N),则k的值为(  )

  A.0 B.1 C.2 D.3

  9.函数f(x)=x2ln|x|的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  10.如图所示为f(x)=Asin( x+φ)(A>0,0<φ< )的部分图象,P,Q分别为f(x)图象的最高点和最低点,点P坐标为(2,A),PR⊥x轴于R,若∠PRQ= .则A及φ的值分别是(  )

  A. , B. , C.2 , D.2 ,

  11.若函数 与函数y=sin2x+acos2x的图象的对称轴相同,则实数a的值为(  )

  A. B. C. D.

  12.某同学对函数f(x)=xsinx进行研究后,得出以下结论:

  ①函数y=f(x)的图象是轴对称图形;

  ②对任意实数x,|f(x)|≤|x|均成立;

  ③函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;

  ③当常数k满足|k|>1时,函数y=(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.

  其中正确结论的序号是:(  )

  A.①② B.①④ C.①②③ D.①②④

  二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

  13.函数y=f(x)的图象如图(含曲线端点),记f(x)的定义域为A,值域为B,则A∩B=      .

  14.已知函数f(x)=2sin( +2),如果存在实数x1,x2使得对任意的实数,都有f(x1)≤f(x2),则|x1﹣x2|的最小值是      .

  15.已知非零向量 , 满足| |=| |=| ﹣ |,则向量 , 夹角的余弦值为      .

  16.2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,则sin2θ﹣cos2θ的值等于

  漳州市2015-2016+学年上高中数学教学质量检测(二)

  已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.

  (Ⅰ)求f( )的值;

  (Ⅱ)试写出一个函数g(x),使得g(x)f(x)=cos2x,并求g(x)的单调区间.

  .已知函数f(x)= + (其中m>0,e为自然对数的底数)是定义在R上的偶函数.

  (1)求m的值;

  (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明你的结论.

  .某同学在画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象时,列表如下:

  x

  ωx+φ0π2π

  Asin(ωx+φ)020﹣2

  (1)请将上表数据补全,并直接写出函数f(x)的解析式;

  (2)将函数f(x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0, ]上的最大值M,最小值N,并求M﹣N的值.

  .已知平面直角坐标系内三点A,B,C在一条直线上,满足 =(﹣2,m), =(n,1), =(5,﹣1),且 ⊥ ,其中O为坐标原点.

  (1)求实数m,n的值;

  (2)设△OAC的垂心为G,且 = ,试求∠AOC的大小.

  .如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且 .

  (1)求 的值;

  (2)设∠AOP= , ,四边形OAQP的面积为S, ,求f(θ)的最值及此时θ的值.

  已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,记F(x)=2f(x)+g(x)

  (1)求F(x)的零点

  (2)若关于x的方程F(x)=2m2﹣3m﹣5在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.

  漳州市2015-2016+学年上高中数学教学质量检测(三)

  一、选择题:(本大题共12小题,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

  1.下列函数中哪个与函数y=x相等(  )

  A.y=( )2 B.y= C.y= D.y= 【考点】判断两个函数是否为同一函数.

  【专题】探究型;函数的性质及应用.

  【分析】已知函数的定义域是R,分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可.

  【解答】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同.

  B.函数的定义域为R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数.

  C.函数的定义域为R,y=|x|,对应关系不一致.

  D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同.

  故选B.

  【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致,否则不是同一函数.

  2.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是(  )

  A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a

  【考点】对数值大小的比较.

  【专题】计算题.

  【分析】要比较三个数字的大小,可将a,b,c与中间值0,1进行比较,从而确定大小关系.

  【解答】解:∵0<0.32<1

  log20.3<0

  20.3>1

  ∴log20.3<0.32<20.3,即c<b<a

  故选B.

  【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题.

  3.化简 =(  )

  A.cosα B.﹣sinα C.﹣cosα D.sinα

  【考点】三角函数的化简求值.

  【专题】计算题;规律型;三角函数的求值.

  【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.

  【解答】解: = =﹣sinα.

  故选:B.

  【点评】本题考查诱导公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力.

  4.在△ABC中, = , = ,若点D满足 =2 ,则 =(  )

  A. + B. ﹣ C. ﹣ D. + 【考点】平面向量的基本定理及其意义.

  【专题】计算题;向量法;综合法;平面向量及应用.

  【分析】根据向量减法的几何意义,便可由 得, ,进行向量的数乘运算便可用 表示出 .

  【解答】解: ;

  ∴ ;

  ∴ = .

  故选:D.

  【点评】考查向量减法的几何意义,以及向量的数乘运算.

  5.已知区间D⊆[0,2π],函数y=cosx在区间D上是增函数,函数y=sinx在区间D上是减函数,那么区间D可以是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[π, ] D.[ ,2π]

  【考点】函数单调性的判断与证明.

  【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.

  【分析】可以找出y=cosx在[0,2π]上的增区间,y=sinx在[0,2π]上的减区间,而区间D便是这两个区间的公共部分所在区间的子集,从而找出区间D可能的区间.

  【解答】解:x∈[0,2π];

  y=cosx在[π,2π]上是增函数,y=sinx在 上是减函数;

  ∴D可以是 .

  故选C.

  【点评】考查子集的概念,以及余弦函数和正弦函数的单调性,要熟悉正余弦函数的图象.

  6.已知单位向量 、 满足 ⊥ ,则函数f(x)=(x + )2 (x∈R)(  )

  A.既不是奇函数也不是偶函数 B.既是奇函数又是偶函数

  C.是偶函数 D.是奇函数

  【考点】函数奇偶性的判断.

  【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.

  【分析】由题意可得 • =0,函数f(x)=(x + )2 =x2+1,由此可得函数的奇偶性.

  【解答】解:由题意可得 • =0,| |=| |=1,

  ∴函数f(x)=(x + )2 =x2+2 • x+1=x2+1,

  显然,函数f(x)为偶函数,

  故选C.

  【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,函数的奇偶性的判断,属于中档题.

  7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为 的函数,若 ,则 等于(  )

  A. B.1 C.0 D. 【考点】三角函数的化简求值.

  【专题】计算题.

  【分析】先根据函数的周期性可以得到 =f( )=f( ),再代入到函数解析式中即可求出答案.

  【解答】解:∵ ,最小正周期为 =f( )=f( )=sin = 故选A.

  【点评】题主要考查函数周期性的应用,考查计算能力,分段函数要注意定义域,属于基础题.

  8.方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间(k,k+1)(k∈N),则k的值为(  )

  A.0 B.1 C.2 D.3

  【考点】函数零点的判定定理.

  【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.

  【分析】令f(x)=ex﹣x﹣2,从而转化求方程的根为求函数的零点,从而解得.

  【解答】解:令f(x)=ex﹣x﹣2,

  易知f(x)在其定义域上连续,

  f(1)=e﹣1﹣2<0,

  f(2)=e2﹣2﹣2=e2﹣4>0,

  故方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间(1,2),

  故k=1,

  故选:B.

  【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及转化思想的应用.

  9.函数f(x)=x2ln|x|的图象大致是(  )

  A. B. C. D. 【考点】函数的图象.

  【专题】函数的性质及应用.

  【分析】利用函数的奇偶性以及特殊点的坐标所在位置判断即可.

  【解答】解:函数f(x)=x2ln|x|可知:f(﹣x)=x2ln|﹣x|=x2ln|x|=f(x),函数是偶函数,排除选项A、C;

  当x=e时,函数的图象经过(e,e2),是第一象限的点.

  显然B不满足题意.

  故选:D.

  【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的图象经过的特殊点是解题的关键,考查基本知识的应用.

  10.如图所示为f(x)=Asin( x+φ)(A>0,0<φ< )的部分图象,P,Q分别为f(x)图象的最高点和最低点,点P坐标为(2,A),PR⊥x轴于R,若∠PRQ= .则A及φ的值分别是(  )

  A. , B. , C.2 , D.2 , 【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.

  【专题】数形结合;转化法;三角函数的图像与性质.

  【分析】由题意直接求出函数的最大值A,通过点P的坐标为(2,A),点R的坐标为(2,0).若∠PRQ= ,画出图象,求出函数的周期,然后求出最大值,利用函数的图象经过P,求出φ的值.

  【解答】解:如图,∵点P的坐标为(2,A),点R的坐标为(2,0).若∠PRQ= ,

  ∴∠SRQ= = .

  则SQ=A,RS= = ,

  则tan = = = ,

  得A= .即P(2, ),

  ∴2 =2 sin( ),解得φ=2kπ+ ﹣ ,k∈Z,

  ∵0<φ< ,

  ∴当k=0时,φ= .

  故选:C.

  【点评】本题考查三角函数的解析式的求法,考查函数的图象的应用,考查计算能力,根据条件结合图象求出A和φ的值是解决本题的关键.

  11.若函数 与函数y=sin2x+acos2x的图象的对称轴相同,则实数a的值为(  )

  A. B. C. D. 【考点】二倍角的余弦;二倍角的正弦;正弦函数的对称性.

  【分析】先对函数 进行变形求出其对称轴,再y=sin2x+acos2x用和角公式变形,求出用参数表示的对称轴,得到关于参数的方程求参数.

  【解答】解: = =﹣ cos(2x+ )+ ,令2x+ =kπ,得x= ,k∈z

  故函数 的对称轴为x= ,k∈z

  函数y=sin2x+acos2x= sin(2x+θ),tanθ=a

  令2x+θ=nπ+ ,可解得x= + ﹣ ,n∈z,

  故函数y=sin2x+acos2x的对称轴为x= + ﹣ ,n∈z,

  因为两函数的对称轴相同,不妨令k,n皆为0,此时有 ﹣ =﹣ 解得θ= ∴a=tanθ=﹣ .

  故应选D.

  【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的性质,在此类题的求参数值的过程中,可考虑特殊情况.

  12.某同学对函数f(x)=xsinx进行研究后,得出以下结论:

  ①函数y=f(x)的图象是轴对称图形;

  ②对任意实数x,|f(x)|≤|x|均成立;

  ③函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;

  ③当常数k满足|k|>1时,函数y=(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.

  其中正确结论的序号是:(  )

  A.①② B.①④ C.①②③ D.①②④

  【考点】命题的真假判断与应用.

  【专题】对应思想;定义法;简易逻辑.

  【分析】①易判断函数为偶函数,得出结论;

  ②由|sinx|≤1,得结论成立;

  ③可以通过图象或特殊值的方法判断;

  ④结合②一个是|kx|≥|x|,而|f(x)|≤|x|,故与直线y=kx有且仅有一个公共点即原点.

  【解答】解:①函数y=f(x)为偶函数,故其图象关于y轴对称,故是轴对称图形,故正确;

  ②对任意实数x,|sinx|≤1,故|f(x)|≤|x|均成立,故正确;

  ③函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,但任意相邻两点的距离不一定相等,故错误;

  ④当常数k满足|k|>1时,|kx|≥|x|,而|f(x)|≤|x|,故与直线y=kx有且仅有一个公共点即原点,故正确.

  故答案为D.

  【点评】考查了抽象函数的性质和应用,属于难度较大的题型.

  二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

  13.函数y=f(x)的图象如图(含曲线端点),记f(x)的定义域为A,值域为B,则A∩B= [﹣2,3] .

  【考点】交集及其运算.

  【专题】数形结合;函数的性质及应用;集合.

  【分析】根据y=f(x)图象,确定出定义域与值域,即为A与B,求出两集合的交集即可.

  【解答】解:由题意得:A=[﹣2,4]∪[5,8],B=[﹣4,3],

  则A∩B=[﹣2,3],

  故答案为:[﹣2,3]

  【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

  14.已知函数f(x)=2sin( +2),如果存在实数x1,x2使得对任意的实数,都有f(x1)≤f(x2),则|x1﹣x2|的最小值是 4π .

  【考点】三角函数的周期性及其求法.

  【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.

  【分析】先根据f(x1)≤f(x2)对任意实数x成立,进而可得到x1、x2是函数f(x)对应的最大、最小值的x,得到|x1﹣x2|一定是 的整数倍,然后求出函数f(x)=2sin( +2)的最小正周期,根据|x1﹣x2|=n× =4nπ可求出求出最小值.

  【解答】解:∵存在实数x1,x2使得对任意的实数,都有f(x1)≤f(x2),

  ∴x1、x2是函数f(x)对应的最小、最大值的x,

  故|x1﹣x2|一定是 的整数倍;

  ∵函数f(x)=2sin( +2)的最小正周期T= =8π,

  ∴|x1﹣x2|=n× =4nπ(n>0,且n∈Z),

  ∴|x1﹣x2|的最小值为4π;

  故答案为:4π.

  【点评】本题考查了求正弦函数的图象与性质的应用问题,解题时应深刻理解题意,灵活应用基础知识,属于中档题.

  15.已知非零向量 , 满足| |=| |=| ﹣ |,则向量 , 夹角的余弦值为   .

  【考点】数量积表示两个向量的夹角.

  【专题】计算题;方程思想;综合法;平面向量及应用.

  【分析】由已知式子平方可得cosθ的方程,解方程可得.

  【解答】解:设非零向量 , 的夹角为θ,

  ∵| |=| |=| ﹣ |,

  ∴平方可得 + ﹣2| || |cosθ=| |2,

  ∴ =2| || |cosθ=2| |2cosθ

  ∴cosθ= 故答案为: 【点评】本题考查数量积和向量的夹角,属基础题.

  16.2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,则sin2θ﹣cos2θ的值等于 ﹣  .

  【考点】三角函数的化简求值.

  【专题】计算题.

  【分析】根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,先利用小正方形的面积求得∴(cosθ﹣sinθ)2的值,根据θ为直角三角形中较小的锐角,判断出cosθ>sinθ 求得cosθ﹣sinθ的值,进而求得2cosθsinθ利用配方法求得(cosθ+sinθ)2的进而求得cosθ+sinθ,利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后,把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案.

  【解答】解:依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,

  ∵小正方形的面积是 ∴(cosθ﹣sinθ)2= 又θ为直角三角形中较小的锐角,

  ∴cosθ>sinθ

  ∴cosθ﹣sinθ= 又∵(cosθ﹣sinθ)2=1﹣2sinθcosθ= ∴2cosθsinθ= ∴1+2sinθcosθ= 即(cosθ+sinθ)2= ∴cosθ+sinθ= ∴sin2θ﹣cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ﹣cosθ)=﹣ 故答案为﹣ .

  【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系.考查了学生综合分析推理和基本的运算能力.

  三、解答题:(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算过程或证明步骤).

  17.已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.

  (Ⅰ)求f( )的值;

  (Ⅱ)试写出一个函数g(x),使得g(x)f(x)=cos2x,并求g(x)的单调区间.

  【考点】三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.

  【专题】三角函数的图像与性质.

  【分析】(Ⅰ)把函数解析式提取 后利用两角和的正弦化积,然后直接取x= 求得f( )的值;

  (Ⅱ)由二倍角的余弦公式可知g(x)=cosx﹣sinx,化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g(x)的单调区间.

  【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sinx+cosx= ,

  ∴ ;

  (Ⅱ)g(x)=cosx﹣sinx.

  下面给出证明:

  ∵g(x)f(x)=(cosx﹣sinx)(sinx+cosx)=cos2x﹣sin2x=cos2x,

  ∴g(x)=cosx﹣sinx符合要求.

  又∵g(x)=cosx﹣sinx= ,

  由 ,得 ,

  ∴g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.

  又由 ,得 ,

  ∴g(x)的单调递减区间为 ,k∈Z.

  【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.是中档题.

  18.已知函数f(x)= + (其中m>0,e为自然对数的底数)是定义在R上的偶函数.

  (1)求m的值;

  (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明你的结论.

  【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.

  【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.

  【分析】(1)根据f(x)为R上的偶函数,从而有f(﹣1)=f(1),这样即可得出 ,由m>0从而得出m=1;

  (2)写出 ,根据单调性的定义,设任意的x1>x2>0,然后作差,通分,提取公因式,从而得到 ,根据x1>x2>0及指数函数的单调性便可判断f(x1),f(x2)的关系,从而得出f(x)在(0,+∞)上的单调性.

  【解答】解:(1)f(x)为R上的偶函数;

  ∴f(﹣1)=f(1);

  即 ;

  ∴ ;

  ∴ ;

  ∵m>0,∴解得m=1;

  (2) ,设x1>x2>0,则:

  = ;

  ∵x1>x2>0;

  ∴ ,x1+x2>0, ;

  ∴ ;

  ∴f(x1)>f(x2);

  ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

  【点评】考查偶函数的定义,函数单调性的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),作差后是分式的一般要通分,一般要提取公因式,以及指数函数的单调性.

  19.某同学在画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象时,列表如下:

  x

  ωx+φ0π2π

  Asin(ωx+φ)020﹣2

  (1)请将上表数据补全,并直接写出函数f(x)的解析式;

  (2)将函数f(x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0, ]上的最大值M,最小值N,并求M﹣N的值.

  【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

  【专题】计算题;图表型;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质.

  【分析】(1)由表知, ω+φ= ①, ω+φ= ②,联立可求ω,φ,令x﹣ =0,π,2π可求相应的x;

  (2)根据图象变换易求g(x),利用正弦函数的单调性可求得g(x)在[0, ]上的最大值M,最小值N,即可解得M﹣N的值.

  【解答】(本题满分为12分)

  解:(1)将表中数据补全如下:

  x

  ωx+φ0π2π

  Asin(ωx+φ)020﹣20

  ∵ =π,

  ∴T=2π,

  ∴ω=1,代入( ,2)可得φ=﹣ ,

  ∴函数的解析式为:y=2sin(x﹣ )…5分

  (2)以题意可得g(x)=2sin(2x﹣ )…7分

  ∵0 ,∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ,

  ∴ sin(2x﹣ )≤1,

  ∴﹣1≤g(x)=2sin(2x﹣ )≤2,…10分

  ∴当x= 时,g(x)取得最大值M=2;当x=0时,g(x)取得最小值N=﹣1,

  ∴M﹣N=3.…12分

  【点评】本题考查“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象及其图象变换、单调性,考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,属于中档题.

  20.已知平面直角坐标系内三点A,B,C在一条直线上,满足 =(﹣2,m), =(n,1), =(5,﹣1),且 ⊥ ,其中O为坐标原点.

  (1)求实数m,n的值;

  (2)设△OAC的垂心为G,且 = ,试求∠AOC的大小.

  【考点】平面向量数量积的运算.

  【专题】计算题;方程思想;向量法;平面向量及应用.

  【分析】(1)利用已知向量的坐标结合向量加减法的坐标运算求得 的坐标,结合三点A,B,C在一条直线上可得 ,进一步得到一个关于m,n的方程,再由 ⊥ 得关于m,n的另一方程,联立方程组求得m值;

  (2)由题意可得使 = 的向量 的坐标,然后利用数量积求夹角公式求得∠AOC的大小.

  【解答】解:(1)由A,B,C三点共线,可得 ,

  ∵ =(﹣2,m), =(n,1), =(5,﹣1),

  ∴ =(7,﹣1﹣m), ,

  ∴7(1﹣m)=(﹣1﹣m)(n+2),①

  又∵ ⊥ ,∴ • =0,即﹣2n+m=0,②

  联立①②解得: 或 ;

  (2)∵G为△OAC的重心,且 ,

  ∴B为AC的中点,故m=3,n= .

  ∴ ,

  ∴ = .

  且∠AOC∈(0,π),∴ .

  【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量共线和垂直的坐标表示,训练了利用数量积求向量的夹角,是中档题.

  21.如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且 .

  (1)求 的值;

  (2)设∠AOP= , ,四边形OAQP的面积为S, ,求f(θ)的最值及此时θ的值.

  【考点】三角函数的最值;三角函数的化简求值;三角函数中的恒等变换应用.

  【专题】计算题;三角函数的求值.

  【分析】(1)依题意,可求得tanα=2,将 中的“弦”化“切”即可求得其值;

  (2)利用向量的数量积的坐标运算可求得f(θ)=﹣sin2θ+ sinθ;θ∈[ , ]⇒ ≤sinθ≤1,利用正弦函数的单调性与最值即可求得f(θ)的最值及此时θ的值.

  【解答】解:(1)依题意,tanα= =﹣2,

  ∴ = = =﹣10;

  (2)由已知点P的坐标为P(cosθ,sinθ),

  又 = + , = ,

  ∴四边形OAQP为菱形,

  ∴S=2S△OAP=sinθ,

  ∵A(1,0),P(cosθ,sinθ),

  ∴ =(1+cosθ,sinθ),

  ∴ • =1+cosθ,

  ∴f(θ)=(1+cosθ﹣1)2+ sinθ﹣1

  =cos2θ+ sinθ﹣1

  =﹣sin2θ+ sinθ,

  ∵ ≤sinθ≤1,

  ∴当sinθ= ,即θ= 时,f(θ)max= ;

  当sinθ=1,即θ= 时,f(θ)max= ﹣1.

  【点评】本题考查三角函数的最值,着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算,考查正弦函数的单调性及最值,属于中档题.

  22.已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,记F(x)=2f(x)+g(x)

  (1)求F(x)的零点

  (2)若关于x的方程F(x)=2m2﹣3m﹣5在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.

  【考点】函数的零点与方程根的关系.

  【专题】计算题;分类讨论;转化思想;函数的性质及应用.

  【分析】(1)化简F(x)=2loga(x+1)+loga ,由 确定函数F(x)的定义域,从而在定义域内确定方程F(x)=0的解即可.

  (2)y=x+1与y= 在区间[0,1)上均为增函数,从而由复合函数单调性确定函数的单调性,从而分类讨论即可.

  【解答】解:(1)∵f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,

  ∴F(x)=2f(x)+g(x)

  =2loga(x+1)+loga ,

  由 解得,

  函数F(x)的定义域为(﹣1,1),

  令F(x)=0得,

  2loga(x+1)+loga =0,

  故2loga(x+1)=loga(1﹣x),

  故(x+1)2=1﹣x,

  故x2+3x=0,

  解得,x=0或x=﹣3,

  故F(x)的零点为0;

  (2)∵y=x+1与y= 在区间[0,1)上均为增函数,

  ∴根据复合函数单调性知,

  ①当a>1时,函数F(x)=2f(x)+g(x)在区间[0,1)上是增函数,

  ②当0<a<1时,函数F(x)=2f(x)+g(x)在区间[0,1)上是减函数;

  ∴关于x的方程F(x)=2m2﹣3m﹣5在区间[0,1)最多有一解,

  ∵关于x的方程F(x)=2m2﹣3m﹣5在区间[0,1)内仅有一解,

  ①当a>1时,函数F(x)在区间[0,1)上是增函数且F(0)=0,

  F(x)=+∞,

  故只需使2m2﹣3m﹣5≥0,

  解得,m≤﹣1或m≥ ;

  ②当0<a<1时,函数F(x)在区间[0,1)上是减函数且F(0)=0,

  F(x)=﹣∞,

  故只需使2m2﹣3m﹣5≤0,

  解得,﹣1≤m≤ ;

  综上所述,当a>1时,m≤﹣1或m≥ ;

  当0<a<1时,﹣1≤m≤ .

  【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及分类讨论的思想应用.


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